ЭТАПЫ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

В ИССЛЕДОВАНИЯХ

Вагапов И.В., студент,

Русинов А.А., к.ф.-м.н., доцент,

Бирский филиал УУНиТ, г. Бирск, Россия

Аннотация: Математическое моделирование – это мощный инструмент, широко используется в научных исследованиях для анализа, предсказания и оптимизации различных явлений и процессов. От физики и биологии до экономики и инженерии, математические модели помогают исследователям понимать сложные взаимосвязи и принимать обоснованные решения. В данной статье мы рассмотрим ключевые этапы применения математического моделирования в исследованиях.

Ключевые слова: математическое моделирование, этапы математического моделирования.

Создание математической модели реального процесса является достаточно сложным процессом, учитывающим несколько различных факторов, поэтому при математическом моделировании в исследованиях выделяются следующие основные этапы:

Первый этап - постановка задачи моделирования. На этом этапе основным является ясная и четкая формулировка сути проблемы, определение целей моделирования и основных вопросов, на которые исследователи хотят получить ответы. Также важно выделить основные свойства объекта моделирования, абстрагироваться от второстепенных свойств и изучить структуру объекта и основные зависимости между его элементами. На этом этапе также определяются входные, выходные и промежуточные переменные, а также задаются ограничения, которые ограничивают условия функционирования объекта исследования. [1].

Второй этап - разработка математической модели. На этом этапе происходит формализация проблемы и ее выражение в виде конкретных математических уравнений, неравенств и других математических выражений. При этом важно учитывать, что излишняя сложность модели может затруднить исследования, увеличить время разработки и привести к росту затрат на моделирование. Поэтому желательно учитывать реальные возможности и сопоставлять затраты на разработку математической модели с ожидаемым эффектом.

Третий этап - математический анализ модели и выбор метода решения. На этом этапе проводится исследование общих свойств модели и доказательство существования решения поставленной задачи. Если будет доказано отсутствие решения, следует скорректировать модель или постановку задачи. Если же решение существует, выбирается метод его решения. Здесь важно учитывать особенности модели и выбирать подходящий метод, который позволит эффективно решить задачу. [1].

Четвертый этап - разработка алгоритма решения задачи. На этом этапе происходит разработка компьютерной программы для реализации модели. Можно использовать как готовые программные пакеты, так и разрабатывать собственные программы. Выбор программного обеспечения влияет на понимание методов решения задачи и возможность их усовершенствования и адаптации для конкретной задачи.

Пятый этап - подготовка исходной информации. На этом этапе происходит сбор и обработка необходимых данных для моделирования. Исходная информация может включать в себя результаты экспериментов, статистические данные, а также другие источники информации, необходимые для создания и проверки модели.

Важно отметить, что каждый из этих этапов требует тщательной работы и анализа. Создание математической модели  это искусство, которое требует глубоких знаний в области математики, статистики и программирования, а также понимания сути и особенностей исследуемого процесса.[1].

  Шестой этап  разработка и отладка программы. На данном этапе разрабатывается и отлаживается программная реализация модели на современных языках программирования, таких как Visual Basic, C++, и других. [1].

 Седьмой этап  проверка математической модели на адекватность. После разработки программы проводится анализ адекватности модели объекту-оригиналу, оценивается ее практическая применимость. Дополнительно выявляемые недостатки модели устраняются в последующих циклах моделирования.

 Восьмой этап – исследование модели на ЭВМ. На данном этапе проводятся численные расчеты и решение задач с использованием компьютерных методов, что позволяет провести многочисленные эксперименты с моделью за короткие сроки.[1].

 Девятый этап - анализ результатов исследования и их применение. На заключительном этапе анализируются результаты исследования, что дает возможность сделать выводы относительно характеристик исследуемого объекта и его возможной практической применимости.

Рассмотрим каждый этап более подробно.

Первый этап разработки модели - постановка задачи, где мы определяем цель моделирования и описываем задачу исследования. Этап начинается с изучения объекта, при необходимости корректируется после анализа информации. Важно четко сформулировать основные понятия и предположения в предметной области, что является не менее сложной задачей, чем само исследование. Поэтому этот этап включает обследование объекта и определение цели моделирования, а также построение концептуальной модели, которая может уточняться и конкретизироваться в ходе работы.[2].

На втором этапе моделирование формализуется, превращаясь в математические зависимости и отношения. Здесь определяется основная структура математической модели, а затем уточняются детали этой структуры. Важно понимать, что большее количество факторов не всегда делает модель более эффективной. Слишком сложные модели могут затруднить процесс исследования. Необходим баланс между учетом факторов, особенностями математических зависимостей и затратами на моделирование, чтобы достичь желаемого эффекта.

Третий этап. На этом этапе модели исследуются с математической точки зрения, выявляются их общие свойства и свойства решений. Особенно важно доказать существование решений в поставленной модели. Если удается показать, что математическая задача не имеет решения, то необходимо скорректировать исходную модель. В рамках аналитического исследования решаются вопросы о единственности решения, диапазоне изменения переменных и их взаимосвязи в зависимости от входных данных и условий. Непредсказуемые результаты на данном этапе могут потребовать корректировки постановки задачи или ее математической формализации.[3].

Четвертый этап. Разработка алгоритма включает следующие этапы:

·        Формализация задачи: определение критерия решения, обозначение входных и выходных данных.

·        Разбиение задачи на подзадачи: определение основных этапов решения и промежуточных результатов.

·        Выбор методов и алгоритмов для решения каждой подзадачи.

·        Формализация алгоритма: описание каждого шага решения подзадачи с использованием математических операций и структур данных.

·        Тестирование алгоритма: проверка его работоспособности на различных входных данных и верификация полученных результатов.

Разработанный алгоритм – основа для реализации программного кода, который выполняет вычисления на компьютере. От качества и точности данного алгоритма зависят достоверность и полнота результатов исследования.

Пятый этап. На этой стадии уточняются перечни входной, промежуточной и выходной информации, перечень постоянных коэффициентов, пределы изменения входных и выходных переменных. Здесь необходимо также уточнить размерность всех величин, входящих в математическую модель.

Шестой этап. Разработка программы является способом описания и реализации математической модели на компьютере. При этом важно учесть все необходимые алгоритмы, формулы и методы, которые были заданы в модели.

Важным этапом является также отладка программы, которая заключается в проверке правильности ее работы и исправлении ошибок, которые могут возникнуть в процессе выполнения программы.[3].

Седьмой этап. Проверка адекватности модели преследует две цели:

·        Убедиться в справедливости совокупности гипотез, сформу­лированных на этапах концептуальной и математической постано­вок. Переходить к проверке гипотез следует после проверки методов решения, комплексной отладки и устра­нения всех ошибок, связанных с программным обес­печением;

·        Установить, что точность полученных результатов соответ­ствует точности, оговоренной в техническом задании.

Восьмой этап. Исследование модели на ЭВМ включает действия:

·        Установление параметров модели: задание начальных условий, параметров, определяющих характеристики входных данных.

·        Запуск программы на ЭВМ с входными данными и параметрами модели.

·        Выполнение моделирования: на основе алгоритма и входных данных, программа выполняет необходимые вычисления и получает результаты.

·        Визуализация результатов: полученные результаты могут быть представлены в виде числовых данных, графиков, таблиц и других форматов для лучшего понимания и анализа.

·        Анализ результатов: полученные результаты анализируются и интерпретируются с учетом целей исследования. Они могут быть сравнены с экспериментальными данными или другими моделями для проверки достоверности модели.[3].

Девятый этап. На заключительном этапе моделирования ставится вопрос о верности и полноте результатов, адекватности и практической применимости модели. Математические методы проверки позволяют выявлять ошибки в построении модели и сужать круг "правильных" моделей. Неформальный анализ результатов моделирования и их сравнение с реальными данными позволяют обнаружить недостатки исходной постановки задачи и построенной математической модели.

Сложные математические задачи часто требуют упрощения из-за ограничений алгоритмов и программ. В таких случаях приходится упрощать исходные условия, уменьшать число факторов или заменять сложные нелинейные соотношения на более простые, линейные. Недостатки, которые не устраняются на предыдущих этапах, корректируются в последующих циклах моделирования.[3].

Каждый цикл моделирования дает ценные результаты, позволяя начать с простой модели и быстро получить полезные выводы, а затем постепенно улучшать ее, включая новые условия и уточненные математические зависимости.

Таким образом, различные этапы применения математического моделирования образуют целостный подход к исследованиям и позволяют получить новые знания и результаты, которые могут быть использованы для улучшения практической деятельности и принятия информированных решений.

Литература

                1.   Основные этапы математического моделирования [Электронный ресурс] http://it-inform.narod.ru/index/ehtapy_matematicheskogo_modelirovanija/0-41, (дата обращения: 10.11.2023).

                2.   Постановка задачи моделирования [Электронный ресурс]: https://studfile.net/preview/9019092/page:38/,  (дата обращения: 11.11.2023).

                3.   Шагапов В.Ш., Чиглинцева А.С., Русинов А.А. Описание гидродинамических и температурных полей при разработке газогидратных пластов // Вестник Тюменского государственного университета. Физико-математическое моделирование. Нефть, газ, энергетика. 2015. Т. 1. № 3. С. 84-91.